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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

KIEE Vol. 72, No. 12, p.1646-1656

ISSN (print) :

1975-8359

ISSN (online) :

2287-4364

Received : 10 November 2023Revised : 20 November 2023Accepted : 21 November 2023

DOI :

http://doi.org/10.5370/KIEE.2023.72.12.1646

Study on Non-Singular Terminal Sliding Mode Speed Control and Vector Control for Improving the Dynamic Response of Interior Permanent Magnet Synchronous Motor

매입형 영구자석 동기전동기의 속응성 향상을 위한 비특이 터미널 슬라이딩 모드 속도 제어와 벡터제어에 관한 연구

김현우 (Hyunwoo Kim) ¹iD 노영우 (Young-Woo Noh) ^†iD

(Research Institute of Industrial Science, Hanyang University, Seoul 04763, South Korea.)

^†Corresponding Author : LG IT Research & Development Center Automotive Motor Lab., Seoul 07796, South Korea.

E-mail : anthony80@hanyang.ac.kr

License :

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.(www.kiee.or.kr).

Abstract

In this paper, the vector control and non-singular terminal sliding mode control (NTSMC) of interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM) are proposed to improve the fast dynamic response and robustness. A proportional-integral (PI) control system is usually used as the speed controller of IPMSM since the simple structure. However, since a gain of PI controller is determined by the motor parameters, that have the nonlinearity, the speed control system of IPMSM cannot guaranteed robustness. Therefore, this paper proposes the speed control system using NTSMC and disturbance observer (DO) to improve the dynamic response and guarantee robustness of control system. Furthermore, the vector control algorithm is proposed considering the operating mode. Considering the voltage drop, Newton-Raphson method is used for searching the current reference of optimal vector control. To verify the proposed control system, the simulation is implemented using MATLAB/Simulink. Finally, the effectiveness of the proposed control system is verified compared with the conventional control system.

Key words

urrent control algorithm, disturbance observer, finite time reachability, interior permanent magnet synchronous motor (IPMSM), non-singular terminal sliding mode control (NTSMC), vector control.

1. 서 론

최근 하이브리드 자동차와 전기 자동차의 관심이 많아지면서 전동기의 출력밀도 향상을 위한 영구자석 동기전동기의 연구가 활발히 진행되고 있다. 또한, 전기 자동차 트랙션용 전동기는 넓은 정출력 영역이 요구되면서 영구자석 동기전동기의 토폴로지 및 벡터제어기법에 대한 연구가 진행되고 있다. 영구자석 동기전동기 중 매입형 영구자석 동기전동기(Interior Permanent Magnet Synchronous Motor : IPMSM)는 넓은 속도 범위를 가지고 있어 전기 자동차 트랙션용 전동기로 많이 사용되고 있다 ^(1)-⁽³⁾.

IPMSM의 넓은 속도 범위는 전류벡터제어를 통해 동작할 수 있다. 넓은 속도 범위 제어를 위해 전류벡터제어는 4가지 제어 영역으로 구분된다. 전류벡터제어의 4가지 제어 영역은 단위 전류당 최대토크 (Maximum Torque per Ampere : MTPA), 최대전류 (Maximum Current : MC), 약자속제어(Field Weakening : FW), 단위 전압당 최대토크(Maximum Torque per Voltage : MTPV)로 나뉠 수 있다. 각 제어 영역에 대한 전류벡터지령은 IPMSM의 수학적 모델과 제어목적에 맞게 결정되며 전동기 파라미터에 의해서 결정된다. 하지만 전동기의 비선형성 및 전압에 의한 전압강하를 고려할 경우 전류벡터지령의 연산은 복잡해진다. 디지털 신호 프로세스(Digital Signal Processor : DSP)를 고려할 경우 연산이 복잡할수록 메모리를 많이 차지하므로 각 제어영역에 맞는 전류벡터지령을 찾는 수치해석적 기법들에 대한 연구가 진행되고 있다 ^(4)-⁽⁶⁾.

IPMSM의 속도제어시스템은 그림 1과 같이 속도제어기. 전류제어기, 인버터, 모터로 구성되어 있다. IPMSM의 속도제어기와 전류제어기는 주로 비례-적분 (Proportional- Integral : PI)

그림. 1. IPMSM의 속도제어시스템

Fig. 1. Conventional speed control system of IPMSM

제어기를 주로 사용되며 PI제어의 게인은 제어기의 대역폭과 전동기 파라미터에 의해 결정된다. 하지만 전동기의 비선형성과 넓은 정출력 영역에 의한 대역폭의 변동에 의해 제어 속응성 및 강인성이 떨어진다. 따라서 IPMSM 제어 시스템의 강인성을 보장하기 위해서 슬라이딩 모드 제어(Sliding Mode Control : SMC)를 적용하는 연구가 진행 중에 있다 ^(7)-⁽¹⁰⁾. 하지만 슬라이딩 모드 제어는 슬라이딩 모드 표면에는 유한한 시간에 도달하지만 지령 근처에서 점근적으로 수렴한다. 제어기의 속응성을 향상시키기 위하여 유한한 시간에 슬라이딩 모드 표면에 도달하고, 유한한 시간 내에 지령으로 수렴하는 터미널 슬라이딩 모드 제어(Terminal Sliding Mode Control : TSMC)가 연구되었다 ^(11)-⁽¹²⁾. 하지만 비선형 시스템의 경우 특이점에 의해 시스템의 불안정화 될 수 있다.

터미널 슬라이딩 모드 제어의 특이점 문제를 해결하기 위하여 비특이 슬라이딩 모드 제어(Non-Singular Terminal Sliding Mode Control : NTSMC)가 연구 되었다 ^(13)-⁽¹⁵⁾. 이 제어 기법은 기존 TSMC의 유한한 시간에 지령으로 수렴하는 특징을 가지고 있으면서 특이점에 의한 문제를 해결하여 강인성을 보장할 수 있다. 하지만 NTSMC의 경우 외란에 대하여 정확하게 알아야하는 단점을 가지고 있다. 이러한 단점을 보완하기 위하여 외란을 관측할 수 있는 외란 관측기(Disturbance Observer : DO)를 같이 사용하는 연구가 많이 이뤄지고 있다 ^(16)-⁽¹⁷⁾.

본 논문은 IPMSM의 속응성 향상을 위하여 NTSMC, DO, 벡터제어 알고리즘을 제안한다. 먼저 NTSMC를 설계하기 위하여 슬라이딩 모드 표면을 정의하였고, Lyapunov 함수를 통해 안정성을 확보하기 위한 제어 게인 조건을 도출한다. 또한, NTSMC의 제어 안정성을 보장하기 위하여 외란 관측기 설계를 진행했으며 외란 관측기의 안정성을 분석한다. IPMSM의 넓은 속도 범위에 대한 제어를 위하여 벡터제어 알고리즘을 제안한다. 벡터제어 알고리즘은 부하 토크, 현재 속도에 따라 최대토크를 발생하는 제어기법을 제안하여 속응성을 향상시켰다. 또한, Newton-Raphson법을 이용하여 전류벡터제령을 빠르게 도출한다. 본 논문에서 제안한 제어시스템을 검증하기 위하여 MATLAB/ Simulink를 통해 시뮬레이션을 구현하였고, 기존 PI제어기와의 특성 비교를 통해 제안한 제어 시스템의 유효성을 검증하였다.

본 논문의 나머지 부분은 다음과 같이 구성된다. 2장에서는 IPMSM의 벡터제어에 대하여 소개한다. 3장에서는 제안한 제어 시스템에 대하여 소개한다. 4장에서는 시뮬레이션을 통해 제안한 제어 시스템의 유효성을 검증한다. 마지막으로 5장에서는 본 논문의 결론을 정리한다.

2. IPMSM의 벡터제어

2.1 IPMSM의 수학적 모델

동기회전좌표계에서 IPMSM의 전압방정식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(1)

\begin{align*} v_{d}= R_{s}i_{d}+ L_{d}\dfrac{di_{d}}{dt}-\omega_{e}L_{q}i_{q}\\ v_{q}= R_{s}i_{q}+ L_{q}\dfrac{di_{q}}{dt}+\omega_{e}L_{d}i_{d}+\omega_{e}\lambda_{m} \end{align*}

여기서 $v_{d}$와 $v_{q}$는 각각 $d_{q}$축 고정자 전압, $i_{d}$와 $i_{q}$는 각각 $d_{q}$축 고정자 전류, $R_{s}$는 고정자 저항, $L_{d}$와 $L_{q}$는 각각 $d_{q}$축 인덕턴스, $ω_{e}$는 전기적인 동기속도, $λ_{m}$은 영구자석에 의한 쇄교자속이다.

IPMSM에서 발생하는 토크와 IPMSM의 토크방정식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(2)

$T_{e}=\dfrac{3}{2}\dfrac{P}{2}\left[\lambda_{m}i_{q}+\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right]$

여기서 $T_{e}$는 전동기의 토크, P는 극수이다.

식(1)과 (2)로부터 알 수 있듯이 전동기의 전압과 토크는 $d_{q}$축 전류와 전동기 회로 파라미터에 의해서 결정된다. IPMSM은 인버터를 통해 전압과 주파수를 제어하므로 전압에 대한 제한치와 전류에 대한 제한치가 존재한다. 따라서 식(1)에 의해 특정 속도에 대한 전류의 조합이 존재하며 이러한 조합에 의해 IPMSM의 토크는 식(2)에 의해 결정된다.

2.2 IPMSM의 전압제한과 전류제한

그림 1과 같이 IPMSM에 인가되는 전압은 인버터에 의해서 결정된다. 이러한 인버터는 펄스변조방식에 의해서 전압을 인가하며 주로 공간벡터변조방식을 사용한다. 공간벡터변조방식에 의한 전압제한을 고려하고, 정상상태라고 가정하면 전동기의 전압제한 식은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(3)

$$v_{d}^{2}+ v_{q}^{2}\le\left(\dfrac{V_{dc}}{\sqrt{}}3\right)^{2}$$ $\left(R_{s}i_{d}-\omega_{e}L_{q}i_{q}\right)^{2}+\left(R_{s}i_{q}+\omega_{e}L_{d}i_{d}+\omega_{e}\lambda_{m}\right)^{2}\le\left(\dfrac{V_{dc}}{\sqrt{}}3\right)^{2}$

식(3)으로부터 IPMSM의 전압제한은 $d_{q}$축 전류와 영구자석에 의한 쇄교자속에 의해 결정되는 것을 알 수 있다. 또한, IPMSM은 역돌극성($L_{d}$<$L_{q}$)이므로 전압제한은 타원의 형태로 나타나는 것을 알 수 있다. IPMSM의 전류제한은 인버터에 의해서 결정되며 인버터의 전류 제한을 $I_{a}$이라고 할 때 전류제한 식을 아래와 같이 표현할 수 있다.

(4)

$i_{d}^{2}+ i_{q}^{2}\le I_{a}^{2}$

그림. 2. IPMSM의 전압제한과 전류제한

Fig. 2. Voltage and current constraint of IPMSM

식(4)으로부터 IPMSM의 전류는 반지름이 $I_{a}$인 원의 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 식(3)과 (4)로부터 IPMSM의 전류벡터는 제한되며 그림 2와 같이 전압제한과 전류제한을 동시에 만족해야한다. 따라서 IPMSM의 전류벡터제어는 전압제한과 전류제한을 고려하여 제어목적에 맞게 제어가 수행되야한다.

2.3 IPMSM의 수학적 모델

본 논문에서 IPMSM의 벡터제어는 MTPA, MC, FW를 이용한다. 그림 3은 MTPA, MC, FW의 개념을 나타낸다. 그림 3에서 보는 것과 같이 MTPA는 단위전류당 최대토크를 발생하는 전류벡터의 조합을 의미하고, MC는 전압제한과 전류제한의 교점을 의미하고, FW는 전압제한을 만족하면서 전류제한보다 작은 전류벡터의 조합을 의미한다. 각 벡터제어에 대한 전류지령을 구해보도록 하자.

MTPA는 단위전류당 최대토크를 의미하며 전류벡터는 식(5)와 같은 조건을 만족해야한다.

(5)

$${ minimize \quad i_{d}^{2}+ i_{q}^{2} }$$ subject to $T_{e}=\dfrac{3}{2}\dfrac{P}{2}\left[\lambda_{m}i_{q}+\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right]$

MTPA를 만족하는 전류를 찾기 위하여 식(6)과 같은 Lagrangian function를 정의한다.

(6)

$H(i_{d},\: i_{q},\: u)= i_{d}^{2}+ i_{q}^{2}+ u\left\{\dfrac{3}{2}\dfrac{P}{2}\left[\lambda_{m}i_{q}+\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right]- T_{e}^{*}\right\}$

여기서 $u$는 Lagrangian multiplier이다.

식(6)로부터 Lagrangian function의 미분이 0이 되는 조건은 아래와 같다.

(7)

$$ \begin{aligned} & \frac{\partial H}{\partial i_d}=2 i_d+u \frac{3}{2} \frac{P}{2}\left(L_d-L_q\right) i_q=0 \\ & \frac{\partial H}{\partial i_q}=2 i_q+u \frac{3}{2} \frac{P}{2}\left[\lambda_m+\left(L_d-L_q\right) i_d\right]=0 \\ & \frac{\partial H}{\partial u}=\frac{3}{2} \frac{P}{2}\left[\lambda_m i_q+\left(L_d-L_q\right) i_d i_q\right]-T_e^*=0 \end{aligned} $$

그림. 3. IPMSM의 벡터제어에 따른 전류벡터

Fig. 3. Current vector of IPMSM for vector control

식(7)을 만족하는 $d_{q}$축 전류는 식(8)을 연립하여 구할 수 있다.

(8)

$$\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}^{2}-\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{q}^{2}+\lambda_{m}i_{d}= 0$$ $\dfrac{3}{2}\dfrac{P}{2}\left[\lambda_{m}i_{q}+\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}i_{q}\right]- T_{e}^{*}= 0$

MC는 전압제한과 전류제한의 교점을 의미하므로 아래의 방정식으로부터 구할 수 있다.

(9)

$$i_{d}^{2}+ i_{q}^{2}= I_{a}^{2}$$ $\left(R_{s}i_{d}-\omega_{e}L_{q}i_{q}\right)^{2}+\left(R_{s}i_{q}+\omega_{e}L_{d}i_{d}+\omega_{e}\lambda_{m}\right)^{2}=\left(\dfrac{V_{dc}}{\sqrt{3}}\right)^{2}$

FW제어의 경우 그림 3와 같이 전압제한내에서 전류가 최소가 되도록 제어하면 되므로 아래의 조건을 만족하는 전류벡터를 선정해야한다.

(10)

$$ minimize \quad i_{d}^{2}+ i_{q}^{2}$$ $$subject \quad to $$ $\left(R_{s}i_{d}-\omega_{e}L_{q}i_{q}\right)^{2}+\left(R_{s}i_{q}+\omega_{e}L_{d}i_{d}+\omega_{e}\lambda_{m}\right)^{2}=\left(\dfrac{V_{dc}}{\sqrt{3}}\right)^{2}$

MTPA와 같은 방법으로 Lagrangian function를 정의하여 풀면 아래와 같은 방정식을 얻을 수 있다.

그림. 4. 제안한 IPMSM의 속도제어 시스템

Fig. 4. Proposed speed control system of IPMSM

(11)

$$\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{d}^{2}-\left(L_{d}- L_{q}\right)i_{q}^{2}+\lambda_{m}i_{d}= 0$$ $\left(R_{s}i_{d}-\omega_{e}L_{q}i_{q}\right)^{2}+\left(R_{s}i_{q}+\omega_{e}L_{d}i_{d}+\omega_{e}\lambda_{m}\right)^{2}-\left(\dfrac{V_{dc}}{\sqrt{3}}\right)^{2}=0$

식(8), (9), (11)로부터 MTPA, MC, FW에 대한 전류지령을 얻을 수 있다. 각 방정식은 비선형방정식이므로 연립을 통해 방정식의 해를 구하는 것은 어려움이 있다. 따라서 본 논문에서는 수치해석적인 Newton-Raphson법을 사용하여 두 방정식의 해를 구한다. 각 방정식의 해는 3.4절에서 자세히 다루도록 한다.

3. 제안된 IPMSM의 속도제어시스템

그림 4는 본 논문에서 제안하는 IPMSM의 제어 시스템을 나타낸다. IPMSM 제어 시스템의 속응성 및 안정성을 확보하기 위하여 NTSMC, DO, 벡터제어알고리즘을 나타낸다. 전류제어기는 PI제어기로 구성하였으며 인버터는 전압형 인버터, PWM 기법은 공간벡터변조방식을 사용하였다.

3.1 NTSMC 설계

NTSMC를 설계하기 위하여 다음과 같이 슬라이딩 표면을 정의한다.

(12)

$s=x_{1}+\alpha x_{2}^{\beta}$

여기서

(13)

$x_{1}=\theta_{m}^{*}-\theta_{m}$, $x_{2}=\dot x_{1}=\omega_{m}^{*}-\omega_{m}$, $1>\beta =\dfrac{p}{q}<2$

이며 $\alpha$는 상수, p와 q는 모두 홀수이다.

식(12)로부터 슬라이딩 표면의 미분은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(14)

$$ \begin{align*} \dot s =\dot x_{1}+\alpha\beta\dot x_{2}x_{2}^{\beta -1}\\ =x_{2}+\alpha\beta x_{2}^{\beta -1}\left(\dot\omega_{m}^{*}-\dfrac{T_{e}}{J_{m}}+\dfrac{B_{m}}{J_{m}}\omega_{m}+\dfrac{T_{L}}{J_{m}}\right) \end{align*} $$

이때 제어 입력을 아래와 같이 설계한다.

(15)

$T_{e}^{*}= J_{m}\left[\dot\omega_{m}^{*}+\dfrac{B_{m}}{J_{m}}\omega_{m}+\dfrac{T_{L}}{J_{m}}+\dfrac{1}{\alpha\beta}x_{2}^{2-\alpha}+ k_{c}sgn(s)\right]$

여기서 $k_{c}$는 양의 상수이며 제어변수이다.

식(15)를 식(14)에 대입하면 슬라이딩 표면의 미분은 아래와 같이 표현할 수 있다.

(16)

$\dot s = -\alpha\beta k x_{2}^{\beta -1}sgn(s)$

슬라이딩 표면의 수렴성에 대하여 안정성을 분석하기 위하여 양의 Lyapunov 함수를 식(17)과 같이 정의한다.

(17)

$V =\dfrac{1}{2}s^{2}$

Lyapunov 안정화 이론에 의해 제어기의 안정성을 확보하기 위해서는 Lyapunov 함수의 미분이 음수를 만족해야한다. 식(16)과 (17)로부터 Lyapunov 함수의 미분은 식(18)와 같이 표현할 수 있다.

(18)

$\dot V = s\dot s = -\alpha\beta k_{c}x_{2}^{\beta -1}s sgn(s)= -\alpha\beta x_{2}^{\beta -1}| s |$

식(18)로부터 Lyapunov 함수의 미분이 음수를 만족하려면 아래의 조건을 만족해야한다.

(19)

$\alpha >0$, $\beta > 0$, $k_{c}>0$, $x_{2}^{\beta -1}>0$

$\beta = p / q$라고 할 때 $x_{2}^{\beta -1} > 0$을 만족하는 p와 q의 조건은 식(20)으로부터 도출할 수 있다.

(20)

$x_{2}^{\beta}-1 = x_{2}^{\dfrac{p}{q}-1}= x_{2}^{\dfrac{p-q}{q}}=\left(x_{2}^{1/q}\right)^{p-q}> 0$

임의의 $x_{2}$에 대하여 식(20)이 만족하기 위해서는 q는 홀수, p-q는 짝수를 만족해야하므로 p와 q는 모두 홀수이어야한다.

설계된 NTSMC의 유한한 시간 내의 수렴성은 슬라이딩 표면에 도달하는 시간과 상태변수의 수렴 시간을 통해 분석할 수 있다. 슬라이딩 표면에 도달하는 시간을 분석하기 위하여 식(18)의 Lyapunov 함수의 미분을 고려하면 식(21)와 같다.

(21)

$\dot V = s\dot s = -\alpha\beta k_{c}x_{2}^{\beta}-1 s sgn(s)\le -\alpha\beta k_{c}\rho_{\max}| s |$

식(19)에서 $x_{2}^{\beta}-1$은 양수이므로 $\rho_{\max}$를 $x_{2}^{\beta}-1$의 최대값으로 가정하면 식(21)로 나타낼 수 있다. 식(17)의 Lyapunov함수의 정의로부터 식(21)은 식(22)로 표현할 수 있다.

(22)

$\dot V\le -\sqrt{2}\alpha\beta k_{c}\rho_{\max}V^{\dfrac{1}{2}}$

슬라이딩 표면이 0으로 수렴하는 시간은 Lyapunov 함수가 0으로 수렴하는 시간과 동일하므로 식(22)로부터 수렴하는 시간을 식(23)와 같이 계산할 수 있다.

(23)

$$ \begin{aligned} & V^{-\frac{1}{2}} V \leq-\sqrt{2} \alpha \beta k_c \rho_{\max } \\ & \int_{V_0}^0 V^{-\frac{1}{2}} d V \leq \int_0^{t_r}-\sqrt{2} \alpha \beta k_c \rho_{\max } d t \\ & t_r \leq \frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2} \alpha \beta k_c \rho_{\max }} \end{aligned} $$

식(23)로부터 Lyapunov 함수가 0으로 수렴하는 시간은 유한한 값을 가지므로 설계된 NTSMC의 슬라이딩 표면에 수렴하는 시간도 유한하다.

상태변수가 0으로 수렴하는 시간을 고려하기 위하여 슬라이딩 표면에 도달했다고 가정하면 상태변수들의 관계는 식(24)로 나타날 수 있다.

(24)

$s=x_{1}+\alpha x_{2}^{\beta}= 0$, $x_{1}= -\alpha x_{2}^{\beta}$

여기서 $x_{2}=\dot x_{1}$이므로

(25)

$\dot x_{1}= -\dfrac{1}{\alpha^{1/\beta}}x_{1}^{1/\beta}$

이다. 상태변수가 0으로 수렴하는 시간은 식(25)로부터 식(26)과 같이 도출할 수 있다.

(26)

$$x_{1}^{-1/\beta}= -\dfrac{1}{\alpha}^{1/\beta}dt$$ $\int_{x(t_{r})}^{0}x_{1}^{-1/\beta}dx_{1}= -\int_{t_{r}}^{t_{r}+t_{s}}\dfrac{1}{\alpha}^{1/\beta}dt$ $$t_{s}=\dfrac{\alpha^{1/\beta}\beta}{\beta}-1\left[x\left(t_{r}\right)\right]^{\dfrac{\beta -1}{\beta}}$$

식(26)에서 유한한 시간 내에 상태변수가 0으로 수렴하기 위하여 $\beta$는 1과 2 사이의 값을 가져야한다. 즉, 식(20)과 식(26)로부터 $\beta$는 1과 2 사이의 값이며 분모와 분자는 모두 홀수를 만족해야한다. 따라서 식(15)와 같이 NTSMC를 설계하면 유한한 시간 내에 상태변수가 0으로 수렴하므로 빠른 속응성을 가질 수 있다. 그림 5는 NTSMC의 블록도를 나타낸다. 그림 5에서 보는 것과 같이 NTSMC는 여러 가지 피드백된 값을 입력으로 토크 지령을 출력한다. NTSMC로부터 토크 지령이 출력되면 전압제한과 전류제한을 고려하여 $d_{q}$축 전류를 분리해야한다. $d_{q}$축 전류를 분리하는 것은 3.3절 벡터제어알고리즘에서 다루도록 한다. 그림 5에서 NTSMC의 입력 중 부하토크를 포함하고 있으므로 정확한 부하토크 값을 알아야한다. 따라서 다음 장에서는 부하토크를 추정하기 위한 외란관측기에 대하여 다룬다.

3.2 외란관측기 설계

식(15)로부터 NTSMC의 출력은 부하토크와 관련이 있따. 부하토크가 변동이 크다면 NTSMC 시스템이 불안정화될 수 있으므로 정확한 부하토크를 알아야한다. 따라서 본 논문에서는 외란관측기를 통해 부하토크를 추정여 부하변동에 따른 NTSMC의 안정성을 보장하였다. 부하토크를 추정하기 위하여 식(27)과 같은 속도오차를 정의한다.

(27)

$\hat e =\omega_{m}-\hat\omega_{m}$

식(27)의 속도오차를 이용하여 부하토크를 추정하도록 하자. 식(27)를 미분하면 식(28)와 같이 표현할 수 있다.

(28)

$$ \begin{aligned} \dot{\hat{e}} & =\dot{\omega}_m-\dot{\hat{\omega}}_m \\ & =\dot{\omega}_m-\left(\frac{3 P \lambda_m}{4 J_m} i_q-\frac{B_m}{J_m} \hat{\omega}_m-\frac{\hat{T}_L}{J_m}\right) \end{aligned} $$

속도오차를 0으로 수렴하기 위하여 속도오차에 대한 동특성 관계는 식(29)와 같이 나타내었다.

(29)

$$ \dot{\hat{e}}=-k_0 \hat{e} $$

식(29)와 (28)를 통해 추정된 부하토크는 식(30)과 같이 나타낼 수 있다.

그림. 5. NTSMC의 블록도

Fig. 5. Block diagram of NTSMC

그림. 6. 외란관측기의 블록도

Fig. 6. Block diagram of distrubance observer

(30)

$$ \hat{T}_L=J_m\left[-\dot{\omega}_m+\frac{3 P}{4 J_m} \lambda_m i_q-\frac{B_m}{J_m} \omega_m+\left(\frac{B_m}{J_m}-k_o\right) \hat{e}\right] $$

식(30)에서 부하토크는 속도와 전류에 의해서 결정되는 것을 알 수 있다. 따라서 측정된 속도와 전류를 통해 부하토크를 추정할 수 있으며 식(15)의 NTSMC 제어 입력에 추정된 부하토크를 대입할 수 있다. 그림 6은 외란관측기에 대한 블록도를 나타내고 있다.

3.3 벡터제어알고리즘

3.1절에서 다뤘듯이 NTSMC의 출력은 IPMSM의 토크이다. IPMSM의 토크는 식(2)와 같이 $d_{q}$축 전류의 수 많은 조합으로 이뤄질 수 있다. 또한, 2.3절에서 다룬 것과 같이 $d_{q}$축 전류의 수많은 조합에는 MTPA, MC, FW를 만족하는 조합들이 존재한다. 따라서 제어 목적에 맞게 지령토크를 만족하는 $d_{q}$축 전류를 분리해줄 필요가 있다. 본 절에서는 IPMSM의 운전상태를 고려하여 전류벡터를 MTPA, MC, FW 중에서 선정하는 벡터제어 알고리즘을 제안한다. 전류벡터를 선정하는 벡터제어 알고리즘은 토크 최대화, 전류 최소화를 목표로 한다. 그림 7은 IPMSM의 운전상태에 따른 전류벡터 알고리즘을 나타낸다. 그림 7(a)의 경우 IPMSM의 속도가 기저속도보다 작을 경우를 나타내며 최소의 전류로 최대의 토크를 제어하기 위하여 MTPA 제어법을 사용한다. 즉, 그림 7(a)에서 보는 것과 같이 A→B의 경로를 따라 지령전류를 선정한다. 그림 7(b)~7(d)는 IPMSM의 속도가 기저속도보다 클 때를 나타낸다. IPMSM의 속도가 기저속도보다 크면 A에서 제어가 불가능하므로 최대토크를 발생하기 위하여 전압제한과 전류제한의 교점으로 제어하게 된다. 이는 그림 7(b)에서 보는 것과 같이 A→C로 제어하는 것을 의미한다. C지점에서 IPMSM의 토크를 TMC라고 할 때 부하토크가 TMC보다 작다면 최소전류를 만족하기 위하여 그림 7(c)와 같이 C→D의 경로로 전류벡터를 제어한다. 그림 7(d)에서 지령속도에 대한 전압제한과 MTPA와 만나는 부분을 D라고 할 때 D에서 IPMSM의 토크를 TFW라고 하자. 지령토크가 TFW보다 작다면 최소의 전류로 최대의 토크를 만족하는 전류벡터의 경로는 MTPA 위가 된다. 따라서 그림 7(d)와 같이 전류벡터의 경로는 D→E가 된다. 앞서 설명한 것과 같이 본 논문에서 제안하는 IPMSM의 동작조건에 따라 전류벡터모드를 정리하면 아래와 같다.

모드1($\omega_{m}^{*} < \omega_{b}$) : MTPA제어

모드2($\omega_{m}^{*}<\omega_{b}$, $T_{e}^{*}> T_{MC}$) : MC제어

모드3($\omega_{m}^{*} > \omega_{b}$, $T_{FW}\le T_{e}^{*}\le T_{MC}$) : FW제어

모드4($\omega_{m}^{*} > \omega_{b}$, $T_{e}^{*} < T_{FW}$) : MTPA 제어

그림. 7. IPMSM 운전조건에 따른 제어모드 (a) 모드 1 (b) 모드 2 (c) 모드 3 (d) 모드 4

Fig. 7. Control mode according to operation mode of IPMSM (a) mode 1 (b) mode 2 (c) model 3 (d) mode 4

그림. 8. IPMSM의 운전모드를 고려한 알고리즘

Fig. 8. Algorithm considering operation mode of IPMSM

그림 8은 IPMSM의 운전 상태를 고려할 때 제안하는 벡터제어알고리즘을 나타낸다. IPMSM의 운전 상태를 고려하여 벡터제어를 선정했으므로 각 제어에 따른 $d_{q}$축 전류지령을 도출하면 된다. 다음 절에서는 전류벡터를 도출하기 위한 수치해석적 방법을 제안하였다.

3.4 전류벡터를 위한 Newton-Raphson 알고리즘

2.3절에서 다룬 것과 같이 3.3절의 전류벡터모드의 전류벡터는 식(8), (9), (11)를 통해 구할 수 있다. 각 방정식의 해를 구하는 것은 2개의 방정식을 연립하는 문제이므로 식(31)과 같은 방정식을 푸는 것과 같다.

(31)

$ f =\begin{bmatrix}f_{1}(i_{d},\: i_{q})\\f_{2}(i_{d},\: i_{q})\end{bmatrix}=0$

식(31)과 같은 비선형 방정식의 해는 수치해석적 접근을 통해 구할 수 있다. 수치해석적 접근 중 가장 간단하고 수렴속도가 빠른 방법으로 Newton-Raphson법을 많이 사용한다. 그림 9은 Newton-Raphson법의 원리를 나타낸다. 임의의 $x_{i}$에 대하여 접선의 방정식을 구한 후 $f(x_{i+1})=0$를 만족하는 $x_{i+1}$을 구할 수 있다. 그림 10에서 보는 것과 같이 이 알고리즘을 반복한다면 $f(x)=0$을 만족하는 해에 근접하는 것을 알 수 있다. 이를 식(31)에 대입한다면 식(32)와 같이 나타낼 수 있다.

(32)

$$ 0-f\left(x_i\right)=\nabla f\left(x_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right) $$

여기서 $\nabla f$는 자코비안으로 식(33)과 같다.

(33)

$$ \nabla f\left(x_i\right)=\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial f_1}{\partial i_d} & \frac{\partial f_1}{\partial i_a} \\ \frac{\partial f_2}{\partial i_d} & \frac{\partial f_2}{\partial i_a} \end{array}\right]=J $$

식(32)로부터 $x_{i }$와 $x_{i+1 }$의 관계는 식(34)와 같이 나타낼 수 있다.

(34)

$ x_{i+1}= x_{i}- J^{-1} f( x_{i})$

그림 9는 식(34)를 기반으로 전류벡터를 계산하는 알고리즘을 나타낸다. 식(34)를 식(8), (9), (11)에 적용하면 각 모드에 대하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.

모드 1 :

(35)

$$ \begin{aligned} f & =\left[\begin{array}{l} \frac{3}{2} \frac{P}{2}\left[\lambda_m i_q+\left(L_d-L_q\right) i_d i_q\right]-T_e^* \\ \left(L_d-L_q\right) i_d^2-\left(L_d-L_q\right) i_q^2+\lambda_m i_d \end{array}\right] \\ J & =\left[\begin{array}{cc} \frac{3}{2} \frac{P}{2}\left(L_d-L_q\right) i_q & \frac{3}{2} \frac{P}{2}\left[\lambda_m+\left(L_d-L_q\right) i_q\right] \\ 2\left(L_d-L_q\right) i_d+\lambda_m & -2\left(L_d-L_q\right) i_q \end{array}\right] \end{aligned} $$

모드 2 :

(36)

$$ \begin{aligned} & f=\left[\begin{array}{c} i_d^2+i_q^2-I_a^2 \\ \left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)^2+\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right)^2-V_a^2 \end{array}\right] \\ & J=\left[\begin{array}{c} 2 i_d 2 i_q \\ J_{21} J_{22} \end{array}\right] \\ & J_{21}=2 R_s\left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)+2 \omega_e L_d\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right) \\ & J_{22}=-2 \omega_e L_q\left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)+2 R_s\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right) \end{aligned} $$

모드 3 :

(37)

$$ \begin{aligned} & f=\left[\begin{array}{c} \left(L_d-L_q\right) i_d^2-\left(L_d-L_q\right) i_q^2+\lambda_m i_d \\ \left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)^2+\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right)^2-V_a^2 \end{array}\right] \\ & J=\left[\begin{array}{c} 2\left(L_d-L_q\right) i_d+\lambda_m-2\left(L_d-L_q\right) i_q \\ J_{21} \end{array}\right] \\ & J_{22}=2 R_s\left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)+2 \omega_e L_d\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right) \\ & J_{22}=-2 \omega_e L_q\left(R_s i_d-\omega_e L_q i_q\right)+2 R_s\left(R_s i_q+\omega_e L_d i_d+\omega_e \lambda_m\right) \end{aligned} $$

그림. 9. Newton-Raphson법의 원리

Fig. 9. Principle of Newton-Raphson method

그림. 10. 전류벡터 선정을 위한 Newton-Raphson 알고리즘

Fig. 10. Algorithm of Newton-Raphson for seeking current vector

4. 시뮬레이션 결과

본 논문에서 제안하는 제어시스템을 검증하기 위해 MATLAB/ Simulink를 이용하여 시뮬레이션을 구현하였다. 그림 11은 제안한 제어시스템의 시뮬레이션 블록도를 나타낸다. 그림 11에서 NTSMC는 그림 5와 같이 구현하였고, DO는 그림 6과 같이

그림. 11. 제안한 제어 시스템의 시뮬레이션

Fig. 11. Simulation of proposed control system

표 1. IPMSM의 사양

Table 1. Specification of IPMSM

Content	Value	Unit
DC link voltage	24	V
Rated current	6	Amax
Number of poles	4	-
Rated speed	3000	rpm
Rated torque	0.33	Nm
d-axis inductance	0.397	mH
q-axis inductance	1.031	mH
Armature resistance	0.177	Ω
PM flux linkage	0.0193	Wb
Motor inertia	1.41 x 10^-5	kg·m²
Switching frequency	10	kHz

표 2. IPMSM의 사양

Table 2. Specification of IPMSM

Content	Des	Value
PI d-axis current controller	$k_{pd}$	24.94
PI d-axis current controller	$k_{id}$	1.11x10⁴
PI q-axis current controller	$k_{pq}$	64.78
PI q-axis current controller	k$i_{q}$	1.11x10⁴
PI speed controller	$k_{ps}$	0.0886
PI speed controller	$k_{is}$	111.33
SMC	$k_{smc}$	5000
NTSMC	$k_{ntsmc}$	5
	$\alpha$	0.00005
	$\beta$	13/9
Disturbance observer	$k_{o}$	50

구현하였다. 또한, 그림 8과 10의 벡터제어알고리즘은 MATLAB Function를 이용하여 코드화하여 구현하였다. 표 1은 IPMSM의 사양을 나타낸다. 제안한 제어 시스템의 유효성을 검증하기 위하여 동일한 전류제어기에서 속도제어기를 PI제어기와 SMC, 제안한 제어시스템으로 구현하여 특성을 비교하였다. 표 2는 비교한 제어기들의 게인을 나타낸다. 3.1절에서 분석한 것과 같이 NTSMC의 $\beta$는 1과 2사이의 값을 가지며 분모와 분자 모두 홀수를 가지도록 설정하였다.

그림 12는 속도지령을 3000rpm으로 했을 때 각 제어기에 따른 응답특성을 나타낸다. PI제어기의 경우 지령속도에 도달한 후 오버슈트를 가진 후에 정상상태로 들어가는 것을 확인할 수 있다. SMC의 경우 지령속도에 도달한 후 체터링 현상에 의해 속도가 바로 수렴하지 않고 진동하는 것을 알 수 있다. 제안한 제어시스템의 경우 PI제어기와 SMC와 다르게 지령속도에 바로 수렴하는 것을 알 수 있다. 따라서 제안한 제어시스템이 PI제어기와 SMC 대비 우수한 응답특성을 가지는 것을 알 수 있다.

제안한 제어시스템의 외란에 따른 특성을 분석하기 위하여 0.14sec와 0.2sec에 부하토크를 변동하여 속도 응답을 분석하였다. 그림 13은 각 제어기별 외란에 따른 속도 응답특성을 나타내고 있다. 그림 14(a)와 14(b)는 그림 13에서 각 외란이 인가된 시간별로 확대한 것을 나타낸다. 그림 14에서 알 수 있듯이 PI제어기의 속도 응답이 가장 느렸고, 오버슈트도 크게 나타나는 것을 알 수 있다. SMC의 경우에는 PI제어기보다 응답속도는 빠르나 체터링에 의해 속도가 진동하는 것을 알 수 있다. 하지만 제언한 제어시스템의 경우에는 약간의 오버슈트가 있지만 다른 제어기에 대비 가장 빠르게 속도가 안정화됨을 알 수 있다. 그림 15는 부하토크의 외란관측기 성능을 나타낸 것이다. 외란관측기에 의해 추정된 부하토크가 외부 부하토크를 잘 따라가는 것을 확인할 수 있다.

그림. 12. 제어방식에 따른 속도응답 특성

Fig. 12. Speed response characteristic according to control methods

그림. 13. 제어방식과 외란에 따른 속도응답특성

Fig. 13. Speed response according to control methods and disturbance

그림. 14. 외란토크에 따른 속도 응답 특성 (a) 0.14sec (b) 0.2sec

Fig. 14. Speed response for load torque (a) 0.14sec (b) 0.2sec

그림. 15. 외란추정기 특성

Fig. 15. Characteristics of disturbance observer

벡터제어 알고리즘을 검증하기 위하여 아래와 같은 속도와 토크에 따라 전류벡터 궤적을 분석하였다.

그림. 16. 벡터제어 알고리즘에 따른 전류벡터 궤적 (a) 모드 1 (b) 모드 2 (c) 모드 3

Fig. 16. Trajectory for vector control algorithm (a) mode 1 (b) mode 2 (c) mode 3

Case 1. $\omega_{m}^{*}= 3000rpm,\: T_{e}^{*}= 0.2Nm$

Case 2. $\omega_{e}^{*}= 3300rpm,\: T_{e}^{*}= 0.33Nm$

Case 3. $\omega_{m}^{*}= 3400rpm,\: T_{e}^{*}= 0.2Nm$

그림 16는 각 Case에 따른 전류벡터 궤적을 나타낸다. 그림 16(a)는 Case 1를 나타내며 그림 7의 모드 1과 같이 전류벡터가 생기는 것을 알 수 있다. 그림 16(b)는 Case 2를 나타내며 그림 7의 모드 2와 같이 전류벡터가 생기는 것을 알 수 있다.

그림 16(c)는 Case 3를 나타내며 그림 7의 모드 3과 같이 전류벡터가 생기는 것을 알 수 있다. 따라서 제안한 벡터제어알고리즘이 적용되고 있는 것을 알 수 있다.

5. 결 론

본 논문은 빠른 응답성과 전류벡터를 최소로 제어하기 위하여 NTSMC, DO, 벡터제어알고리즘을 제안하였다. 빠른 응답성을 위하여 NTSMC를 설계하였고, 제어의 강인성을 확보하기 위하여 DO를 설계하였다. 또한, IPMSM의 전류벡터에 따른 특성을 고려하여 벡터제어알고리즘을 제안하였고, 전압강하를 고려한 수학적 방정식의 해를 구하기 위해 Newton-Raphson법을 적용하였다. MATLAB/Simulink를 통해 본 논문에서 제안하는 제어시스템의 유효성을 기존 PI제어기와 SMC의 속도 응답특성을 비교하여 검증하였다. 또한, 전류벡터의 궤적을 분석하여 제안한 벡터제어알고리즘의 적용성을 검증하였다. 본 논문을 통해 강인하고 빠른 응답성을 가질 수 있으며 제어시스템을 구축할 수 있다. 또한, 주어진 토크지령에 대하여 IPMSM의 특성을 고려한 전류벡터지령을 Newton-Raphson법을 통해 빠르게 도출할 수 있다.

Acknowledgements

본 연구는 한국전력공사의 2022년 착수 기초연구개발 과제 연구비에 의해 지원되었음(과제번호 : R22XO02-02)

References

F. Mwasilu, J. -W Jung, Aug 2016, Enhanced Fault-Tolerant Control of Interior PMSMs Based on Adaptive EKF for EV Traction Applications, IEEE Trans. Power Electron., Vol. 31, No. 8, pp. 5746-5758

J. -M. Mun, G. -J. Park, S. Seo, D. -W. Kim, Y. -J. Kim, S. -Y Jung, jun. 2017, Art ID : 8105104, Design Characteristics of IPMSM With Wide Constant Power Speed Range for EV Traction, IEEE Trans. Magn., Vol. 53, No. 6

T. A. Huynh, M. -F. Hsieh, nov. 2017, Art ID : 8211006, Comparative Study of PM-Assisted SynRM and IPMSM on Constant Power Speed Range for EV Applications, IEEE Trans. Magn., Vol. 53, No. 11

K. Li, Y. Wang, July. 2019, Maximum Torque Per Ampere (MTPA) Control for IPMSM Drives Based on a Variable- Equivalent-Parameter MTPA Control Law, IEEE Trans. Power Electron., Vol. 34, No. 7, pp. 7092-7102

Z. Xia, S. Nalakath, R. Tarvirdilu-Asl, Y. Sun, J. Wiseman, A. Emadi, Sept. 2020, Online Optimal Tracking Method for Interior Permanent Magnet Machines With Improved MTPA and MTPV in Whole Speed and Torque Ranges, IEEE Trans. on Power Electron., Vol. 35, No. 9, pp. 9753-9769

C. Lai, G. Feng, K. Mukherjee, J. Tjong, N. C. Kar, April. 2018, Maximum Torque Per Ampere Control for IPMSM Using Gradient Descent Algorithm Based on Measured Speed Harmonics, IEEE Trans. Ind. Informat., Vol. 14, No. 4, pp. 1424-1435

A. K. Junejo, W. Xu, C. Mu, M. M. Ismail, Y. Liu, Nov. 2020, Adaptive Speed Control of PMSM Drive System Based a New Sliding-Mode Reaching Law, IEEE Trans. on Power Electron., Vol. 35, No. 11, pp. 12110-12121

J. Li, H. Ren, S. Wang, Y. Fang, 2020, Integral Sliding Mode Control for PMSM with Uncertainties and Disturbances via Nonlinear Disturbance Observer, 2020 39th Chinese Control Conference (CCC), pp. 2055-2060

A. K. Mohammed, N. K. Al-Shamaa, A. Q. Al-Dujaili, 2022, Super-Twisting Sliding Mode Control of Permanent Magnet DC Motor, 2022 IEEE 18th International Colloquium on Signal Processing & Applications (CSPA), pp. 347-352

F. -J. Lin, S. -G. Chen, M. -S. Huang, C. -H. Liang, C. -H. Liao, Jan. 2022, Adaptive Complementary Sliding Mode Control for Synchronous Reluctance Motor With Direct- Axis Current Control, IEEE Trans. on Ind. Electron., Vol. 69, No. 1, pp. 141-150

S. Li, M. Zhou, X. Yu, Nov. 2013, Design and Implementation of Terminal Sliding Mode Control Method for PMSM Speed Regulation System, IEEE Trans. on Ind. Informat., Vol. 9, No. 4, pp. 1879-1891

X. Liu, H. Yu, J. Yu, L. Zhao, 2018, Combined Speed and Current Terminal Sliding Mode Control With Nonlinear Disturbance Observer for PMSM Drive, IEEE Access, Vol. 6, pp. 29594-29601

W. Liu, S. Chen, H. Huang, 2019, Adaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control for Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Disturbance Observer, IEEE Access, Vol. 7, pp. 153791-153798

Z. Gao, G. Guo, B. Zhang, 2017, Non-singular terminal sliding mode heading control of surface vehicles, 2017 36th Chinese Control Conference (CCC), pp. 634-638

B. Xu, L. Zhang, W. Ji, Dec. 2021, Improved Non-Singular Fast Terminal Sliding Mode Control With Disturbance Observer for PMSM Drives, IEEE Trans. Transport. Electrific., Vol. 7, No. 4, pp. 2753-2762

J. Huang, S. Ri, T. Fukuda, Y. Wang, June. 2019, A Disturbance Observer Based Sliding Mode Control for a Class of Underactuated Robotic System With Mismatched Uncertainties, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 64, No. 6, pp. 2480-2487

S. Cao, J. Liu, Y. Yi, Mar. 2019, Non-singular terminal sliding mode adaptive control of permanent magnet synchronous motor based on a disturbance observer, IET on Jiangsu Annual Conference on Automation, Vol. 2019, No. 15, pp. 629-634

저자소개

김현우(Hyunwoo Kim)

2017년 한양대학교 전기공학부 졸업.

2022년 동 대학원 전기공학과 졸업(박사).

2022년 ~ 현재 한양대학교 박사후연구원.

Tel : 02-2220-0349

E-mail : khw7481@hanyang.ac.kr

노영우(Young-Woo Noh)

2005년 서울대학교 전기·정보공학부 졸업(석사).

2012년 ~ 현재 LG이노텍 책임연구원.

2022년 한양대학교 전기공학과 졸업(박사).

Tel : 02-2220-0349

E-mail : anthony80@hanyang.ac.kr

KIEEThe Transactions ofthe Korean Institute of Electrical Engineers

The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

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매입형 영구자석 동기전동기의 속응성 향상을 위한 비특이 터미널 슬라이딩 모드 속도 제어와 벡터제어에 관한 연구

Abstract

Key words

1. 서 론

2. IPMSM의 벡터제어

2.1 IPMSM의 수학적 모델

(1)

(2)

2.2 IPMSM의 전압제한과 전류제한

(3)

(4)

2.3 IPMSM의 수학적 모델

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

3. 제안된 IPMSM의 속도제어시스템

3.1 NTSMC 설계

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3.2 외란관측기 설계

(27)

(28)

(29)

(30)

3.3 벡터제어알고리즘

3.4 전류벡터를 위한 Newton-Raphson 알고리즘

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

4. 시뮬레이션 결과

5. 결 론

Acknowledgements

References

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김현우(Hyunwoo Kim)

노영우(Young-Woo Noh)

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