1. 서 론

현대사회에서 전기 및 전자제품의 개발 및 보급은 인류에 크게 이바지하고 있다. 새로운 제품들의 개발은 신기술의 접목을 통하여 이루어지고 있으나, 기본적인 기술은 아무리 새로운 기술들이 발달하였다고 할지라도 오래전부터 축적된 기본적인 물리학적 개념과 이론으로 이루어져 있다. 그 중에서도 전기장과 관련된 이론 및 개념은 기본적인 이론이면서 상당히 중요한 이론이며 전기공학의 전반에 근간을 이루고 있다. 보통 전기장 계산은 수치해석 프로그램의 개발과 판매를 통하여 수많은 학계와 산업현장에 적용되고 있으나, 상용수치해석 프로그램을 구입하려면 상당한 비용이 소요되며, 고성능의 컴퓨터 및 메모리 사양이 필요한 형편이다. 또한 실제 해석만을 하다보면 실제로 발생하는 전기장의 발생을 통해 일어나는 현상에 대한 물리적 고찰을 간과하기 쉽다. 따라서, 전기장 계산과 관련된 이론 및 적용의 일환으로, 본 논문에서는 해당 영역에 대해 전기장을 차폐하며 전압을 일정하게 유지하는데 사용되는 일정 간격의 도체 메쉬에 대해서, 특히 얇은 도체 메쉬에 대한 전압에 관련한 해석식을 유도하고 한다. 본 논문에서 얇다는 표현은 표피효과(Skin Effect)를 고려하였을 때, 해당 전압의 파장에 비하여 도체의 두께가 훨씬 얇은 형태로 표현할 수 있으나 본 논문에서 해석하고자 하는 대상은 직류이거나 상당히 낮은 주파수인 전력 주파수(Power Frequency)이므로 파장은 상당히 길기 때문에 어떤 도선이던 얇은 도선이 될 수 있다. 그리하여, 본 논문에서는 상용수치해석 프로그램을 적용할 경우, 전체의 해석영역에 대해서 보통 유한요소법 등을 사용하므로 가로와 세로 길이의 약 20분의 1 정도 이상의 두께의 도체는 얇지 않은 도체라 가정하며, 보통 수치해석 프로그램을 사용할 경우 메쉬를 분할할 때 어려움을 겪지 않고 계산이 가능하지만, 그렇지 않은 얇은 도체의 경우는 아무리 수치해석 프로그램이 발달하였다고 하더라도, 전체 기하학적인 크기의 배율을 늘리는 레이놀즈수(Reynold’s number)를 통하여 확대하여 계산을 하더라도 메모리 등의 부하가 걸릴 수 있고 계산 시간이 오래 걸리는 단점이 있다. 또한, 얇은 도체의 경우에 대해서 특이점의 형태를 나타낼 수 있으므로 수치해석 시 문제점을 가질 수 있다. 기존의 논문이나 연구에서는 그린 함수(Green’s Function) 및 타원함수(Elliptic Function) 등의 유도와 해석이 어려운 복잡한 수식을 이용하였으나^[1-6], 본 논문에서는 먼저 1차원의 일정한 간격으로 존재하는 얇은 도체 메쉬에 대한 해석식을 라플라스 방정식과 델타함수를 이용하여 구한 후 이를 2차원의 일정한 간격으로 존재하는 얇은 도체 메쉬에 대한 해석식으로 확장하여 비교적 간단한 사인함수(Sinusoidal Function)의 형태로 유도하고자 한다. 본 논문에서 유도한 전압에 대한 해석식이 라플라스 방정식을 만족함을 보이고, 이에 대한 전압에 대한 결과를 상용수치해석 프로그램인 Maxwell의 결과와 비교하여 검증하고자 한다.

2. 해석식 유도

그림 1은 도체가 $y$축 방향으로 놓여있으며, $x$축 방향으로 길이 a의 간격으로 일정하게 놓여있는 주기적인 구조를 나타낸다. 본 논문에서 최종적으로 2차원의 모델로 연결될 것이기 때문에 전하밀도 $\lambda$는 일정하다고 할 수 있다.

일정한 간격으로 배치된 도체에 대해서 해당 도체에 전하밀도가 일정하게 분포되어 있다고 표현할 수 있다. 해당 도체에 관하여 라플라스 방정식을 고려할 경우, $z$축으로 상당히 큰 값일 때 즉 도체에서 해당거리가 멀 경우 전압은 상당히 낮은 값이 나타나게 된다. 또한 라플라스 방정식의 해를 구할 경우 실수의 지수 곡선과 허수의 지수 곡선의 곱으로 표현이 된다. 즉, $e^{\pm\alpha x}$ 또는 $e^{\pm j\beta x}$ 함수의 곱의 형태로 나타나며, 전자는 일반적인 지수함수이며 후자는 사인함수(Sinusoidal Function)의 형태로 표현할 수 있다. 즉 물리적으로 고려할 때, $z$축의 방향으로는 $z$축에 따라 감소하는 지수함수의 형태가 가능하며, $x$축의 방향으로는 전하가 일정하게 배치되어 있으므로 주기적인 사인함수(Sinusoidal Function)의 곱의 형태가 가능하게 된다. 전하가 존재하는 위치는 코사인함수(Cosine Function)로 표현이 가능하다. 본 구조가 a라는 주기로 배치된 구조이므로, 전압의 식은 하기 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

또한 도체에 대한 전하밀도에 대한 식 (2)는 a의 주기를 갖는 전하밀도의 합이므로, 하기 식 (2)와 같이 표현된다.

델타함수(Delta Function)에 대한 푸리에급수(Fourier Series)를 표현하면 하기 식 (3)과 같이 나타난다^[7].

식 (3)에 의하여 식 (2)의 우변에 나타난 델타함수는 식 (4)와 같이 표현할 수 있다.

$z$=0에서 전속밀도 연속조건이 식 (5)와 같이 성립된다.

식 (1), 식 (2) 및 식 (4)를 식 (5)에 대입하면 식 (6)과 같은 항등식으로 표현할 수 있다.

식 (6)에서 계수가 동일하므로, $A_{n}$은 식 (7)과 같이 최종적으로 나타난다.

식 (7)을 식 (1)에 대입하면, 한 방향으로 긴 도체가 주기적인 일정한 간격으로 놓여 있는 경우에 대한 전압의 식이 하기 식 (8)과 같이 표현된다.

식 (8)과 같이 나타난 전압과 관련된 식을 그림 2와 같이 $x$축과 $y$축으로 교차되는 2차원 도체 메쉬(Mesh)에 대한 식으로 확장하고자 한다. 전압은 전기장처럼 벡터의 합이 아닌 크기의 합인 스칼라이므로, 위치에 대한 단순한 합의 형태로 표현할 수 있다. 따라서 식 (8)에 나타난 $x$에 관한 식에 $y$에 관련된 식을 더하면 아래 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

유도된 전압의 식 (9)가 라플라스 방정식을 만족하는지 여부를 확인하도록 한다. $x$에 관한 이계도함수, $y$에 관한 이계도함수 및 $z$에 관한 이계도함수의 합이 영(zero)이 됨을 확인한다.

상기 식 (10), (11) 및 (12)를 더하면

상기 식 (13)과 같이 라플라스 방정식을 만족함을 알 수가 있다. 실제로 2차원의 얇은 도체의 메쉬에서 전압을 구할 경우 무한대의 합으로 구할 수는 없고, 수열에서의 합이 수렴하는 부분까지 더하여 구할 수 있다. 이는 식 (14)와 같이 표현할 수 있다.

식 (14)를 통하여 위치에 따른 전압을 구할 수 있으나 본 수식에서는 전하밀도 $\lambda$가 미지수이다. 미지수인 전하밀도 $\lambda$를 구하기 위해서, $x=a$이고, $y=b$이며, $z=0$일 경우는 해당 도체에 해당하므로 도체의 전압을 $V_{0}$라고 하면 식 (14)는 식 (15)의 형태로 축약될 수 있다.

식 (15)의 형태를 통하여 전하밀도 $\lambda$는 아래 식 (16)을 통하여 구할 수 있다.

식 (16)을 통하여 구한 전하밀도를 통하여 식 (14)에 대입하여 각 위치에 따른 전압을 구할 수 있다. 본 논문에서 유도한 전압의 식에 대한 유효성은 다음 절 사례연구에서 다루고자 한다.

3. 사례 연구

본 절에서는 해석식 유도를 통해 구한 해석식인 식 (14)와 상용프로그램인 Maxwell을 이용한 결과를 비교하여 본 논문에서 수학적 방법을 통해 유도한 해석 방법의 유효성을 보이고자 한다. 아래 그림 3은 2차원 도체 메쉬의 단면을 나타내며, 길이 a와 b는 각각 1[cm]라고 가정하고, 각 도체의 단면의 반지름은 1[mm]라고 가정한다.

도체에 인가되는 전압은 100[V]라고 가정하여 계산한다. 위의 그림 3과 같은 도체 메쉬 모델의 각 도체 간의 전압을 위의 2절에서 유도한 식의 결과와 수치해석 프로그램의 결과와 비교 분석하도록 한다.

위의 그림 4는 전기장을 시뮬레이션하기 위한 경계 조건을 나타낸다. 내부에 도체 메쉬가 존재하고 있으며, 바깥쪽을 둘러싼 경계 조건은 전압이 인가되는 디리클레 조건(Dirichlet Condition)이 아니고, 전속밀도 연속조건을 만족하는 노이만 조건(Neumann Condition)을 만족해야만 하는 구조임을 알 수 있다.

본 절에서는 그림 3의 모델에 대해서 그림 4에 해당하는 경계 조건을 이용하여 그림 3에 표현된 도체망의 각 도체 사이의 전압값의 결과를 상용프로그램인 Maxwell을 이용한 시뮬레이션과 결과와 앞선 2절에서 유도한 해석식을 통하여 비교 분석하였다.

그림 5에서 보듯이, 1[cm] 간격의 두 도체 간의 전압이100[V]로 나타나고, 두 도체 사이의 중간 위치에서 전압이 감소하는 형태를 띄었다. 이와 같은 전압의 경향이 주기적으로 나타나며, 본 논문에서 유도한 해석식의 결과와 수치해석 프로그램을 사용한 결과가 최대 약 2.94[V]의 오차를 갖으며 나타남을 알 수 있었다. 따라서 본 논문에서 유도한 해석식의 결과가 일반적인 얇은 도체 메쉬 주변의 전압에 대한 경향을 정확히 나타냄을 알 수가 있다.

4. 결 론

본 논문에서는, 2차원의 얇은 도체로 이루어진 도체망의 주변의 전압의 크기를 주기함수의 한 형태인 사인함수와 지수함수의 곱의 형태를 라플라스 방정식으로부터 간단한 수학적인 방법을 통하여 구하였다. 기존의 논문 및 연구에서는 그린 함수(Green’s Function) 및 타원 함수(Elliptic Function) 등을 이용하여 전압을 구하는 형태가 많았으나 본 논문에서는 기하학적인 주기를 갖는 형태인 도체망에 대해서 간단한 수학적 기법으로 전압의 크기를 구할 수 있었다. 본 논문에서는 얇은 도체라는 가정을 하여, 전압에 대한 주파수 및 도체 반경의 크기로 인한 표피효과(Skin Depth) 등에 대한 효과는 무시하였으나 향후 연구에서는 실제 인가되는 전압의 주파수가 증가하거나 도체 반경이 도체 메쉬 사이의 거리에 비해 무시할 정도가 아닌 경우에 대한 실제 발생 가능한 문제에 대해서도 연구가 필요하다고 사료된다. 본 논문을 통하여 구한 해석식의 이용으로 고가의 상용프로그램을 이용하지 않고도 간단한 스프레드쉬트(Spread Sheet) 프로그램을 통해 도체망과 같은 주기적인 형태의 구조에서 전압의 크기과 경향을 구하는데 크게 도움이 될 것이라고 판단된다.