2.1 모델출력 오차적분 개념

축소차수 VDM 산출을 위한 모델출력 오차적분(MOEI： model output error integral)의 개념은 그림 3과 같다.

그림에 사용된 변수의 정의는 다음과 같다.

$T(s)$ : 침로 제어기를 포함한 AUV의 폐루프 동특성

$T(s)$는 AUV의 폐루프 침로(course angle) 제어루프의 실제 입출력 관계를 전달함수 형태로 표현한 것이다. AUV의 동특성 및 제어기 구조와 관련한 기존 연구들을 참고하면, $T(s)$를 다음과 같이 쓸 수 있다^[12].

위의 식에서 $s$는 라플라스 평면에서 정의되는 복소변수(complex variable), $n$과 $m$은 음이 아닌 정수로 극점과 영점의 개수를 나타낸다. 또한, $R(s)$와 $V_{y}(s)$는 각각 AUV에 인가된 침로명령 $r(t)$와 AUV의 동체좌표계 횡속도 $v_{y}(t)$를 라플라스 변환한 것이다.

$R(s)=\mathcal{L}\{r(t)\}$, $V_{y}(t)=\mathcal{L}\left\{v_{y}(t)\right\}$

참고로 침로명령 $r(t)$는 AUV의 조종콘솔에서 획득되며, 횡속도 $v_{y}(t)$는 AUV에 탑재된 DVL로부터 측정 가능하다. 다만, $T(s)$의 상수 계수인 $\left\{a_{j}\right\}_{j=0}^{n}$과 $\left\{b_{j}\right\}_{j=1}^{m}$는 수력학 불확실성으로 인해 그 값은 정확히 알 수 없다.

$G(s)$ : 축소차수(reduced order) VDM

$G(s)$는 폐루프 AUV의 입출력 관계를 모사하기 위하여 전달함수 $T(s)$의 차수를 축소시킨 VDM이다. 운용환경에 따른 $T(s)$의 계수 $\left\{a_{j}\right\}_{j=0}^{n}$과 $\left\{b_{j}\right\}_{j=1}^{m}$의 불확실성이 야기하는 거동특성의 변화를 모두 반영하기 위해서는 높은 차수의 VDM이 요구되나, 이 경우 많은 개수의 VDM 계수를 동정(identification)해야 하므로 효과적이고 안정적인 동정알고리듬을 구성하기 어렵다. 그러므로 VDM 동정 성능과 AUV 거동 모사 성능을 모두 고려하여 적절한 축소차수 VDM을 결정하는 것이 중요하다.

VDM의 사용목적은 GNSS(global navigation satellite systems) 사용이 불가능한 수중에서 AUV의 장시간 항법을 위한 보정정보를 제공하는 데 있다. 복합항법 알고리듬은 일종의 상보필터(complimentary filter)이므로, 보정정보를 제공하는 VDM은 고주파 영역보다는 저주파 영역에서의 AUV 거동특성을 잘 반영해야 한다. 통상 AUV 폐루프 동특성을 나타내는 식 (1)의 전달함수 $T(s)$는 켤레복소수 관계인 두 개의 저주파 극점(dominant pole)을 지니므로 아래와 같이 축소차수 VDM $G(s)$를 2차 시스템으로 근사할 수 있다.

여기서 $\omega_{n}> 0$, $\zeta >0$, $c_{1}$은 적절한 상수, $\overline{V}_{y}(s)$는 축소차수 VDM의 출력, 즉 근사된 동체좌표계 횡속도 $\overline{v}_{y}(t)$의 라플라스 변환이다.

$H(s)$ : 축소차수 VDM의 모델출력 오차적분

앞서 언급한 축소차수 VDM $G(s)$는 AUV의 실제 동특성 $T(s)$를 근사한 것이다. 따라서 주어진 침로명령과 $G(s)$를 이용해 산출된 횡속도 $\overline{v}_{y}(t)$는 필연적으로 AUV의 횡속도 $v_{y}(t)$와 차이를 가진다. 이를 VDM의 모델출력오차(MOE: model output error) $e(t)$로 명명하며, 그 정의는 다음과 같다.

그림 2에서 도시한 바와 같이 축소차수 VDM에서 산출된 횡속도 정보는 항법장치의 보정에 활용된다. 이때, 복합항법 알고리듬은 AUV의 횡속도 오차의 적분인 횡방향 위치오차의 최소화를 목적으로 하므로, 이를 고려하여 보정정보를 제공하는 축소차수 VDM을 설계할 필요가 있다. 다시 말해, 횡속도 정보를 활용하는 복합항법 알고리듬을 그림 3과 같이 적분으로 근사하면, VDM의 모델출력오차 MOE보다 모델출력 오차적분 MOEI에 유의하여 VDM의 설계요건을 선정해야 한다. MOEI $h(t)$는 다음 식으로 정의된다.

혹은

따라서 항법성능을 고려한 축소차수 VDM의 설계요건은 MOEI $h(t)$가 양호한 성질을 가지도록 VDM을 설정하는 것이라 할 수 있다. 이러한 관점에서 주어진 입력에 대한 MOEI가 시간에 대하여 0으로 수렴하도록 하는 조건은 충분한 시간이 경과하였을 때 축소차수 VDM에 의하여 유발되는 항법 오차가 최소화 되는 경우에 부합하므로, 대표적인 VDM 설계 요건이 될 수 있다. 다음 절에서는 계단입력 및 램프입력에 대하여 축소차수 VDM의 파라미터가 만족해야할 보다 구체적인 조건을 제시하였다.

2.2 축소차수 VDM의 파라미터 제약조건

전술한 MOEI 개념을 활용하여 폐루프 AUV 동특성을 축소차수 VDM으로 근사하는 방법을 생각해보자. 구체적으로, VDM의 입력인 침로명령 $r(t)$에 대해 축소차수 VDM의 MOEI를 0으로 만드는 조건을 도출한다.

침로명령 $r(t)$는 통상 짧은 시구간에서 단위 계단(unit step) 혹은 단위 램프(unit ramp) 신호의 선형조합(linear combination)으로 근사할 수 있다. 즉,

여기서 $k$는 침로명령의 형태에 따라 달리 설정되는 정수다.

축소차수 VDM에 의해 산출된 횡속도 정보 $\overline{v}_{y}(t)$가 복합항법 알고리듬에 사용되어 궁극적으로 횡방향 위치오차가 0이 되기 위해서는 정상상태에서 식 (4a)에 정의된 MOEI가 0이 되어야 한다 ($h(\infty)=0$). MOEI $h(t)$가 유한한 에너지를 갖는다면, 최종 값 정리(FVT, final value theorem)에 따라 축소차수 VDM 설계 요건을 식 (6)과 같이 쓸 수 있다.

식 (3)의 MOE에 라플라스 변환을 취한 후, 식 (1)~(2) 및 식 (5)를 대입하면 다음 식을 얻는다.

따라서 식 (6)과 식 (7)로부터 축소차수 VDM의 설계 요건을 구하기 위한 관계식을 정리할 수 있다.

$k=1$ (단위 계단 응답의 경우) :

$k=2$ (단위 램프 응답의 경우) :

식 (3)~(9)는 MOEI $h(t)$, 다시 말해 $\int_{0}^{\infty}e(t)dt$의 존재 조건 하에서 성립하는 식들이므로, 다음 조건이 우선적으로 만족되어야 한다.

이제 식 (7)에서 구한 $E(s)$를 활용하여 식 (10)의 충족여부를 확인해보자. 단위 계단응답은 식 (10)을 항상 만족하지만, 단위 램프응답의 경우에는 아래 조건이 성립되어야 한다.

앞서와 같이 침로명령을 계단함수와 램프함수의 선형조합으로 근사할 수 있다고 상정하면, 수중항법을 위한 축소차수 VDM의 파라미터들은 식 (11)을 만족함과 동시에 식 (8)과 (9)로 계산된 MOEI의 극한을 0으로 만들 수 있어야 한다. 이상의 결론을 종합하면 축소차수 VDM의 파라미터에 관한 다음 조건식이 도출된다.

식 (12a)는 계단응답의 오차적분을 0으로, 식 (12a)와 (12b)는 램프응답의 오차적분을 0으로 수렴시키기 위한 조건이므로, 이 조건들을 각각 ZSEI(zero step error integral) 조건, ZREI(zero ramp error integral) 조건이라 하자. 즉, 계단입력으로만 침로명령이 인가되는 경우에는 ZSEI 조건인 식 (12a)만 만족하도록 VDM의 파라미터를 선정해도 되지만, 램프입력에 의한 MOEI까지 고려한다면 식 (12a)와 (12b)를 모두 만족하여야 양호한 성능의 VDM을 선정하였다고 할 수 있다.

흥미로운 사실은 축소차수 VDM의 파라미터 제약조건이 모두 미지의 폐루프 AUV 동특성 $T(s)$를 구성하는 계수로 표현된다는 것이다. 즉, MOEI 관점에서 축소차수 VDM의 파라미터 $(\omega_{n},\: \zeta ,\: c_{1})$는 $T(s)$의 계수로 기술되는 다음 제약조건을 충족시켜야 한다.

위 식에서 알 수 있듯이 축소차수 VDM의 파라미터 $\zeta ,\: c_{1}$은 모두 $\omega_{n}$의 함수이다. 식 (13)을 이용하면 식 (2)의 축소차수 VDM을 다음과 같이 쓸 수 있다.

Remark 2.1. 식 (12a)의 ZSEI 조건은 ZREI를 만족하기 위한 전제조건이다. 따라서 ZREI 조건을 만족하는 축소차수 VDM은 ZSEI 성질도 자동적으로 만족한다. 따라서 ZREI를 만족하는 VDM은 램프함수 형태의 침로명령 뿐만 아니라 계단함수 형태의 침로명령에 대해서도 MOEI를 0으로 만들 수 있다.

Remark 2.2. 식 (12b)의 ZREI 조건을 만족하는 축소차수 VDM의 파라미터 ($\zeta ,\: c_{1}$)은 $\omega_{n}$에 종속되어 있다. 이들 파라미터 간의 종속관계를 설명하는 상수 $\kappa$와 $\eta$는 AUV의 폐루프 동특성 식 (1)에 사용된 계수 $a_{0},\: a_{1},\: b_{1},\: b_{2}$로 정의된다. 식 (1)에서 볼 수 있듯이 해당 계수 $a_{0},\: a_{1},\: b_{1},\: b_{2}$는 저차의 복소변수 s와 관련되어 저주파대역 특성을 지니고 있어 고차의 복소변수 s와 관련된 계수보다 상대적으로 신뢰도 높은 모델링 결과를 산출할 수 있다. 즉, 사전에 수조실험을 통해 $\kappa$와 $\eta$의 값을 상당한 정확도로 산출할 수 있다.

Remark 2.3. 식 (12) 조건을 통해 정의되는 축소차수 VDM의 계단 및 램프 입력에 대한 MOEI는 0이 되며, 이는 항법오차를 최소화하는 것을 의미한다. 하지만, 해당 조건은 MOE까지는 고려하지 않기 때문에 축소차수 VDM과 AUV 폐루프 동특성간의 출력오차는 존재한다. 본 논문에서는 해당 한계점을 극복하기 위해 MOEI가 0인 축소차수 VDM에 확장 칼만필터를 적용하여 파라미터, $\omega_{n}$을 추정하였고, 이는 $L_{2}$-norm 관점에서 AUV 폐루프 동특성과의 MOE를 최소화하는 개념이 일부 적용되었음을 의미한다.

3.1 출력오차 적분조건에 따른 파라미터 존재공간과 성능지표

2.2절에서 설명하였듯이 축소차수 VDM의 출력을 AUV의 복합항법에 효과적으로 활용하기 위해서는 항법오차에 상응하는 MOEI의 수렴치에 대한 조건, 즉 식 (12)를 고려해야 한다. 이 조건들은 식 (13)으로 요약되며 이를 고려한 축소차수 VDM 파라미터의 존재 공간은 다음과 같이 쓸 수 있다.

위 식에서 $\theta_{ZREI}$는 제안된 축소차수 VDM의 램프오차적분(REI, ramp error integral)을 0으로 만족시키는 파라미터 집합을, $\omega$는 $\omega_{n}$이 취할 수 있는 값의 집합을 나타낸다.

이해를 돕기 위해 그림 4에 축소차수 VDM 결정 시 고려되어야할 파라미터 공간을 도시하였다. 그림에서 $x$축은 $\zeta$, $y$축은 $\omega_{n}$, $z$축은 $c_{1}$의 값을 의미한다. 따라서 그림에 도시된 3차원 공간상의 한 점은 해당 좌표로 구성되는 파라미터를 가진 축소차수 VDM에 대응된다. 그림에서 평면은 식 (13a) 조건을 만족하는 파라미터들로 이루어진 공간이며, 직선은 식 (13a)와 (13b)를 동시에 만족하는 파라미터 집합을 도시한 것이다. 다시 말해, 평면은 ZSEI 조건을 만족하는 파라미터 공간(ZSEI-평면), 직선은 ZREI 조건을 만족하는 파라미터 공간(ZREI-직선)이다. 식 (15)에 의하여 정의된 공간인 $\theta_{ZREI}$는 ZREI 조건을 만족하는 파라미터들의 집합이므로 그림의 ZREI-직선에 해당한다.

VDM 파라미터 추정에 사용되어온 기존 기법들은 항법성능과 무관한 MOE의 $L_{2}$-norm을 비용함수로 간주하고, 그림 4의 3차원 공간 전체를 대상으로 위 비용함수를 최적화하는 파라미터를 찾는 방법이다. 반면, 항법성능과 관련된 ZREI 조건을 만족하는 축소차수 VDM의 파라미터는 그림 4의 ZREI-직선 위에 존재하므로, 기존 방법에 비해 찾아야 하는 파라미터 공간의 차원이 1차원으로 축소된다. 이는 VDM 파라미터 추정기의 효과적인 설계와 실제 적용 시 수렴성능 향상을 가능케 하는 매우 중요한 특성이다.

3.2 축소차수 VDM 파라미터 추정필터 설계

본 절에서는 앞서 2.2절에서 산출한 축소차수 VDM의 파라미터 추정기를 설계한다. VDM 파라미터 추정필터의 차수를 줄이기 위해 식 (13)의 제약조건을 적용하여 식 (14)와 같이 2차 전달함수로 표현된 축소차수 VDM $\omega_{n}$만 추정한다. 식 (14)의 축소차수 VDM의 전달함수를 입출력 간의 미분방정식으로 변형한 후, 이를 이산화하면 다음과 같은 상태공간방정식을 얻을 수 있다.

여기서 $ x_{k}=\begin{bmatrix}x_{1,\: k x_{2,\: k}}\end{bmatrix}^{T}$ 는 상태변수, $z_{k}$는 DVL에서 획득된 횡속도 측정치, $ w_{k}$는 모델링 오차를 반영하기 위한 공정잡음, $v_{k}$는 DVL의 측정잡음으로 각각 분산이 $Q_{k}$, $R_{k}$인 영평균 백색잡음으로 가정한다. 필터의 갱신주기를 $T$라 하면 식 (14)로부터 식 (16)에 사용된 행렬을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$F =\begin{bmatrix}1 & T \\ -\omega_{n}^{2}& 1-2\eta\omega_{n}T\end{bmatrix}$, $G =\begin{bmatrix}0 \\ T\end{bmatrix}$, $H =\begin{bmatrix}0 &\kappa\omega_{n}^{2}\end{bmatrix}$

축소차수 VDM 동정을 위해, 식 (16)의 상태변수 $ x$와 미지 파라미터 $\omega_{n}$이 결합되어 확장된 상태변수 $\varphi_{k}=\begin{bmatrix} x_{k}^{T}&\omega_{n,\: k}\end{bmatrix}^{T}$로 기술되는 비선형 시스템 방정식을 구성한다.

위 식에서 사용된 함수 및 행렬의 정의는 다음과 같다.

$f(\varphi_{k})=\begin{bmatrix}x_{1,\: k}+x_{2,\: k}T\\-x_{1,\: k}\omega_{n,\: k}^{2}T +(1-2\eta\omega_{n,\: k}T)x_{2,\: k}\\\omega_{n,\: k}\end{bmatrix},\:$

$h(\varphi_{k})=\omega_{n,\: k}^{2}x_{1,\: k},\: \overline{G}=\begin{bmatrix}G \\0^{1\times 1}\end{bmatrix}$

결과적으로 축소차수 VDM 파라미터 추정필터 설계문제는 식 (17)을 만족하는 상태변수 $\varphi_{k}$에 대한 비선형 상태추정문제로 귀결된다. 따라서 확장 칼만필터 등 비선형 상태추정 이론을 상태공간방정식 (17)에 적용하여 손쉽게 VDM 동정 문제를 해결할 수 있다. 축소차수 VDM 동정을 위한 확장 칼만 필터 순환 식은 다음과 같다^[10].

시스템 전파

시점 $k>0$에서의 사전추정치(a priori estimate) $\hat{\varphi}_{k \vert k-1}$과 사전추정오차 공분산 $P_{k \vert k-1}$은 다음과 같이 계산된다.

여기서 $\hat{\varphi}_{k \vert k-1}$과 $P_{k \vert k-1}$은 $k-1$번째 시점에서의 사후추정치(a posteriori estimate)의 추정오차 공분산을 의미한다. 자코비안 행렬 $F_{k-1}$는 다음과 같이 정의된다.

$\left . F_{k-1}=\dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\right |_{\varphi =\hat{\varphi}_{k-1 \vert k-1}}$

측정치 갱신

시점 $k>0$에서 DVL로부터 횡속도 측정치 $z_{k}$가 획득되면 다음 식을 이용해 식 (18)의 사전추정치를 갱신할 수 있다.

여기서 $K_{k}$는 $k$ 시점의 필터 이득, $\hat{\varphi}_{k \vert k}$과 $P_{k \vert k}$은 $k$번째 시점에서 측정치 갱신을 통해 산출된 사후추정치 및 사후추정오차 공분산이다. 측정함수 $h(\bullet)$의 자코비안 행렬 $H_{k}$는 다음과 같이 정의된다.

$\left . H_{k}=\dfrac{\partial h}{\partial \varphi}\right |_{\varphi =\hat{\varphi}_{k \vert k-1}}$

식 (17)의 정의로부터, 사후추정치 $\hat{\varphi}_{k \vert k}$로부터 $k$번째 시점의 축소차수 VDM 파라미터 추정치 $\hat{\omega}_{n,\: k}$를 얻을 수 있다.

4.1 모의실험 조건

제안된 기법과 기존의 기법을 시뮬레이션을 통하여 비교하였다. 비교 대상으로 선정된 VDM 및 VDM 파라미터 추정에 사용된 필터들을 정리한 표 1에 대한 자세한 설명은 다음과 같다.

먼저, EKF16은 AUV의 침로제어기를 포함한 폐루프 동특성을 대변하는 식 (1)의 6차 전달함수 $T(s)$에 사용된 총 10개 계수$(a_{0}\cdots a_{5}$$,\: b_{1}\cdots b_{4}$)와 6개의 상태변수를 추정하는 16차 EKF를 의미한다[11,12]. 다음으로 EKF14는 전술한 전달함수 $T(s)$에 식 (13)의 제약조건을 적용하여 추정해야 할 계수를 8

개($a_{0}\cdots a_{5 ,\: b_{3}},\: b_{4}$)로 감소시킨 14차 EKF를 일컫는다. EKF3은 제안 기법이며, 3.2절에서 설명한 바와 같이 식 (14)의 형태를 갖는 축소차수 VDM 전달함수 $G(s)$의 상태변수 2개와 제약조건 (13)에 의해 하나의 미지 파라미터, 즉 $\omega_{n}$을 추정하는 3차 EKF이다. 정리하면, 기존 기법 및 제안 기법은 VDM 기반 복합항법에 사용되는 VDM 구조와 이를 동정하기 위한 필터의 차수에서 두드러진 차이를 보인다.

폐루프 VDM 동정기법은 그림 5와 같은 운용단계로 수행된다. 표 1에서 설명한 각 기법은 Phase 1에서 보조센서 측정치를 사용하여 현재 운용상황에 맞도록 VDM을 동정하고, Phase 2에서는 동정된 VDM출력을 이용하여 복합항법을 수행한다. 본 모의실험에서는 동정된 VDM을 적용하여 수행되는 Phase2에서의 항법성능을 중점적으로 비교하였다. 모의실험 조건은 표 2와 같다.

Phase 1의 VDM 동정을 위해 크기가 $-2^{\circ}$~ $2^{\circ}$인 구형파 형태의 침로명령(그림 7(a))을 인가하였다. 구형파 신호는 모든 주파수 성분을 포함하고 있어 PE(persistent excitation) 측면에서 VDM 동정에 효과적인 침로명령의 형태이다.

기존 연구들에 따르면, 입력으로 인가되는 침로명령의 크기가 클수록 보다 나은 파라미터 추정 결과를 얻을 가능성이 높아진다^[13]. 하지만, AUV의 운용 특성 상 현실적인 변침한계가

존재하므로 이를 고려하여 변침각의 범위를 $4^{\circ}$로 제한하였다. 이상의 모의실험 조건은 제안 기법의 우수성과 실제 적용 가능성을 확인하는데 도움이 된다. DVL 측정치가 획득되지 않는 Phase 2는 VDM 출력정보를 활용한 복합항법이 수행되므로, 이 구간에서 항법성능 분석을 위해 AUV가 1시간에 걸쳐 선회하는 궤적(그림 6(b))을 선정하였다. 이때, 인가된 침로명령은 그림 7(b)와 같다.

각 기법에 의해 동정된 VDM이 항법성능에 미치는 영향을 분석하기 위해, AUV의 침로제어에 사용된 모든 정보는 모두 참값을 사용하여 다른 요인이 개입될 가능성을 차단하였으며, 항법오차 보정 역시 이상적으로 수행되는 것으로 가정하였다. 주어진 시나리오에서 AUV는 선회 후 다시 원래의 위치로 돌아오므로 항법성능 관점에서 VDM 동정 기법의 유용성을 손쉽게 분석할 수 있다. 각 기법에 의한 항법성능을 통계적으로 분석하기 위해 모든 실험결과는 100회 몬테칼로 시뮬레이션에 의해 산출되었다.

4.2 VDM 동정 성능 비교

본 절에서는 표 1에 정리된 기법에 대한 VDM 동정 성능을 확인한다. 기존 기법과 제안 기법 간의 추정되는 계수 및 파라미터가 서로 다르다. 따라서 기존 시스템 동정 연구에서 사용되었던 VDM의 파라미터 추정 오차를 직접 비교하는 방식이 아니라, 추정된 파라미터로 재구성된 VDM의 MOE인 식 (3)과 MOEI인 식 (4)를 비교하는 간접적 성능분석 방법을 채택하였다.

시스템 동정의 주요 난제 중 하나는 파라미터 추정치의 일관성을 확보하는 것이다. 특히, VDM 동정의 일관성 결여는 수중에서 운용되는 AUV의 임무 실패는 물론이고 AUV의 망실(亡失)과 같은 치명적인 문제를 야기할 수 있으므로, VDM 파라미터 추정치가 수렴하는 빈도를 확인하는 것은 각 기법의 신뢰도와 실제 적용가능성을 판별하는데 매우 중요한 지표로 사용될 수 있다. 2절에서 언급하였듯, 침로 제어루프를 VDM으로 상정하는 경우 VDM은 주어진 침로명령에 대해 항상 안정한 횡속도 출력을 제공해야 한다. 표 3은 표 1에 제시한 3가지 기법에 대한 동정실패 확률을 비교한 것이다. 표에서 VDM 동정실패는 추정된 파라미터에 의해 재구성된 전달함수 $T(s)$ 혹은 $G(s)$가 불안정한 극점을 갖는 경우로 정의하였다.

기존 기법인 EKF16과 EKF14의 동정 결과는 전체 몬테칼로 시뮬레이션의 $2/3$ 이상이 비정상적이다. 기존 VDM 동정기법의 낮은 신뢰도는 전체차수 VDM이 갖는 한계를 극명하게 보여주는 것이다. VDM의 차수가 높아질수록 DVL에서 제공된 횡속도 측정치로부터 VDM의 특성을 명확히 파악할 수 있을 만큼 충분한 정보를 추출하는 일이 매우 어려우며, 이는 고차 VDM과 동정 알고리듬의 실제 적용 가능성을 제한한다. 반면, 제안 기법인 EKF3은 축소차수 VDM을 구성하는 파라미터인 $\omega_{n}$만을 추정함으로써, 항상 유효한 VDM 동정 결과를 제공한다.

VDM 동정 시 ZSEI 조건과 축소차수 VDM 근사의 유용성을 확인하기 위해, $1^{\circ}$크기를 갖는 단위 계단 침로명령에 대해 동정된 VDM 출력오차의 예를 그림 8과 그림 9에 도시하였다. 식 (1) 및 식 (14)에서 볼 수 있듯이 전체차수 VDM $T(s)$와 축소차수 VDM $G(s)$은 모두 $s$-평면의 원점에 위치한 영점을 하나 가지고 있다. 따라서 모든 극점이 안정한 안정적인VDM 동정결과가 산출되었다면 단위 계단 침로명령에 대한 VDM의 MOE $e(t)$는 시간이 지남에 따라 항상 0으로 수렴해야 하며, MOEI $h(t)$ 역시 크기가 제한(bound signal) 되어야 한다. 불행하게도, 기존 기법은 매우 높은 빈도로 MOE와 MOEI가 발산하는 비정상적인 전체차수 VDM 동정 결과를 제공한다 (그림 8). 특히, ZSEI 조건을 고려하지 않는 EKF16 기법에 의해 산출된 전체차수 VDM은 설사 그림 8(a) 와 같이 정상상태에서 MOE가 0으로 수렴하더라도 MOEI가 편향되는 경우가 매우 잦다. 반면, 제안 기법은 정상상태에서 MOE와 MOEI를 모두 0으로 만드는 축소차수 VDM을 매우 안정적으로 산출한다. 이러한 결과는 전체차수 VDM의 모든 계수를 추정하는데 치중한 통상적인 시스템 동정 방법의 신뢰성에 심각한 문제가 있음을 명확히 보여주는 것이다. 이를 통해 축소차수 VDM 근사가 실제 상황에서 동정필터의 안정적인 운용과 VDM 파라미터 추정치의 수렴성 확보에 매우 중요한 역할을 한다는 것을 알 수 있다. 주목할 만한 점은 EKF14 기법이 VDM 동정에 성공하면 제안 기법과 마찬가지로 정상상태에서 MOEI를 0으로 만드는 VDM을 산출하지만 VDM 동정에 실패하는 비율이 약 66%에 육박하여 그 신뢰도가 매우 낮으므로 실제 활용에 큰 제약이 있다는 것이다. 이에 대해 제안된 방법은 모든 경우에 양호하고 안정적으로 동작하여 실제 적용에 큰 장점이 있다.

이는 식 (13)의 ZSEI, ZREI 조건을 고려하여 VDM 파라미터 필터가 설계되었기 때문이다. 이렇듯 ZMEI(zero model-output error integral) 제약조건의 활용은 항법성능 측면에서 유의미한 VDM 동정 결과를 산출하는데 핵심적인 역할을 한다. 표 4는 각 VDM 동정필터의 1주기 연산에 소요된 시간의 평균치를 정리한 것이다.

제안기법은 축소차수 VDM의 선정과 ZREI를 만족하는 파라미터 간 제약조건을 고려하여 필터의 차수를 낮춤으로써, 기존 기법 대비 요구 연산량을 약 78%감소시킬 수 있어 실시간 구현에 보다 적합할 것으로 판단된다. 따라서 제안 기법은 안정적인 동정 성능, 우수한 항법성능, 높은 연산효율성을 지니고 있어 AUV 복합항법을 위한 현실적 대안이 될 것으로 예상된다.

4.3 궤적 시나리오에 대한 VDM 항법 성능

VDM 동정(Phase 1)을 통해 얻어진 결과를 토대로 그림 6(b)의 AUV 선회궤적 시나리오에 대한 VDM 항법성능을 확인하였다. 통상 AUV의 항법 알고리듬은 수직면과 수평면 채널을 분리하여 설계하는 것이 일반적이며, 수직면에는 수심계 등 위치보정 센서가 있으므로 본 논문에서는 VDM 횡속도 출력을 이용한 수평면 항법성능 만을 비교 분석한다. 항법 위치오차를 산출하기 위한 개념을 그림 10에 도시하였다. 이는 그림 3의 모델출력 오차적분과 동일한 개념이다.

그림 6(b) 궤적에 대해 100회 반복수행을 통해 VDM으로부터 산출된 횡방향 속도 및 위치오차 RMS를 그림 11에 도시하였다. 그림 10에서 VDM 항법궤적(그림 6(b), 그림 7(b))는 1시간이 소요되는 궤적이지만 EKF14와 EKF16이 조기에 발산하여 0.2시간까지의 항법오차만을 도시하였다. 그림 10을 살펴보면 EKF16과 EKF14의 속도 및 위치오차 RMS가 침로명령을 인가하는 0.15시간부터 급격히 증가한다(그림 7(b) 참조). 침로명령이 인가된 이후, 얼마 지나지 않아 속도 및 위치오차 RMS는 30[m/s], 6[km] 이상으로 급격히 발산하는 것을 볼 수 있는데, 이러한 이유는 기존 기법들(EKF16, EKF14)의 동정 실패로 인해 $s$ 평면의 우반면(RHP: right half plane)에 극점을 지닌 불안정한 VDM이 포함되어 있기 때문이다. 반면, 제안 기법은 안정적인 동정성능을 바탕으로 매우 우수한 항법성능을 보여준다. 제안기법의 성능을 보다 상세히 살펴보기 위하여 VDM 항법 궤적(그림 6(b), 그림 7(b))에 대하여 발생한 제안기법의 위치오차 평균과 표준편차를 그림 12에 도시하였다. 그림 12을 살펴보면 침로명령이 인가 시 과도구간에서 오차가 발생하지만 이내 0으로 수렴하여 전반적으로 양호한 성능이 유지된다.

이는 제안 기법이 ZSEI 및 ZREI 조건을 만족하는 VDM이면서 동시에 우수한 동정 성공확률을 지닌 방법이기 때문이다.

이상의 결과를 요약하여 볼 때, 제안한 기법인 EKF3은 낮은 차수의 VDM으로도 양호한 성능의 항법정보를 제공할 수 있을 뿐 아니라, 적은 연산량으로 우수한 동정 성능을 확보할 수 있다. 특히 기존 기법들이 동정 실패 상황에서도 제안한 기법인 EKF3은 양호한 필터 수렴성능을 제공하므로, 실제 수중 자율이동체 복합항법 시스템에 적용 시 발생할 수 있는 SW 오동작의 위험성을 최소화하여 보다 실제적이고 현실적인 알고리듬을 설계할 수 있을 것으로 기대된다.