3.1 제어기 설계
앞서 정의한 속도 오차 변수 $e_u$, $e_v$, $e_r$을 이용하여 다음과 같이 슬라이딩 변수 $s_1$, $s_2$ 정의한다:
여기서 $\lambda_u$, $\lambda_v$, $\lambda_r$은 양의 상수이다. 식 (6)의 미분으로
을 얻고, 수상정의 동역학 식 (1)를 이용하면
이고, $\Delta = (m_{22}m_{33} - m_{23}m_{32})$, $\tau_{dvr} = \frac{m_{32}}{m_{22}}\tau_{dv}
+ \tau_{dr}$ 이다. $f_1(\nu, t)$, $f_2(\nu, t)$는 입력과 외란을 제외한 모델 기반 비선형항, $\lambda_u
e_u$, $\lambda_v e_v$, $\lambda_r e_r$, $\dot{u}_d$, $\dot{r}_d$를 묶은 비 입력항으로 다음과 같이
정리된다.
정리 1 무인 수상정의 속도와 목표 속도의 오차로 이루어진 슬라이딩 동역학 식 (1)을 식 (3)과 같은 1차 슬라이딩 시스템의 형태로 만들기 위해 $\tau_u$, $\tau_r$을 통해 비 입력항($f_1(\nu, t)$, $f_2(\nu,
t)$)을 제거하고 식 (4), (5)의 입력과 이득을 이용하면 $\tau_u$, $\tau_r$은 다음과 같이 설계된다:
이때 $\theta_1$, $\theta_2$ 그리고 이득은 다음과 같다:
이로써 슬라이딩 변수는 초기값에 관계없이 속도 오차를 사전 설정된 장벽 $\epsilon$ 내부로 수렴시키고 유지하기 위해 이득 $K_i(t, s(t))$는
외란 상한을 상쇄하도록 $K_i(t, s(t)) > \tau_{u,\max}$을 만족하도록 설계된다. 이에 따라 전진 속도 오차 및 요 각속도 오차가
0 근처 장벽으로 내부로 수렴하게 되고 유도 알고리즘에 의해 횡 방향 경로 오차가 0으로 수렴하여 무인 수상정의 경로 추종을 달성하게 된다.
정의 1 $s_1$의 궁극 오차 상한 $s_B$은 다음과 같이 정의한다:
이때 $\tau_{u,\max}$는 외란 상한이고 $s_B$는 이득 $K_i(t, s(t))$가 보장하는 $s_1$의 최종 수렴 경계값이다.
증명 리아프노브 후보 함수를 다음과 같이 정의하자.
식 (7)의 시간 미분은
이를 통해
을 얻는다. 식 (8)에서 $\dot{V}_2 < 0$을 보장하려면 $K_1 > \tau_{u,\max}$가 필요하다. 따라서 여유항 $\mu > 0$를 도입하여 $K_1
= \tau_{u,\max} + \mu$로 둔다. 따라서 식 (8)은
로 정리된다. 이때 수렴 영역은
이다. 따라서 $|s_1| > \bar{s}_B$인 영역에서 리아프노브 함수가 항상 감소하여 유한시간에 $|s_1| \le \bar{s}_B < \epsilon$로
들어가고 머문다. $s_B$까지 수렴 시간을 계산하기 위해 위 식을 분리하여 적분하면
이다. 여기서 $V_\alpha$는 $\bar{t}$에서의 리아프노브 함수 값이고 $V_\beta$는 수렴 경계 $s_1 = s_B$에서의 리아프노브
함수 값이다. 따라서 유한 수렴 시간 $\lambda_1$은 다음과 같이 계산된다:
즉 유한한 시간 $\lambda_1$ 이내에 $|s_1(t)| \le s_B$의 영역으로 수렴이 보장된다. 위와 같은 방법으로 가정 1을 고려하여
$s_2$의 유한시간 안정을 보장할 수 있다.